Le schéma saute-mouton (ou leap frog)

Le schéma saute-mouton s'écrit :

$$\dfrac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n-1}}{2 \tau} + c ( x_{j}, t_{n} ) \dfrac{u_{j+1}^{n} - u_{j-1}^{n}}{2 h} = f ( x_{j}, t_{n} ).$$

Schématiquement, les valeurs $u_{j}^{n+1}$ sont obtenues à partir des valeurs $u_{k}^{n}$ et $u_{k}^{n-1}$ selon le diagramme suivant :

Ce schéma nécessite une phase d'initialisation que l'on peut faire en utilisant le schéma de Lax-Wendroff pour calculer les $u_{j}^{1}$ à partir des $u_{j}^{0}$.

Nous verrons dans la suite que ce schéma est stable si $\tau\le h/\vert c_0\vert$.