Cas $1\le j\le N$

On utilise (12.29) pour obtenir

$$\begin{split}\left(1+\dfrac{2k\tau}{h^2}\right)\vert u_j^{n+1... ...k\tau}{h^2}\vert u_j^{n+1}\vert+\vert u_j^{n}\vert. \end{split}$$

On conclut ainsi que $\vert u_j^{n+1}\vert\le \vert u_j^{n}\vert\le \max_{0\le\ell\le N+1}\vert u_\ell^{n}\vert$ et donc que

$$\max_{0\le \ell\le N+1}\vert u_\ell^{n+1}\vert \le\max_{0\le\ell\le N+1} \vert u_\ell^n\vert.$$