Stabilité du schéma d'Euler rétrograde

Nous nous plaçons toujours dans le cas où $f\equiv 0$ et nous récrivons (12.25)-(12.27) en prenant soin de garder les inconnues à gauche des égalités. Nous obtenons :

$$\left(1+\dfrac{2k\tau}{h^2}\right)u_{0}^{n+1} -\dfrac{2k\tau}{h^2}u_{1}^{n+1} = u_0^n,$$ (12.28)

$$- \dfrac{k\tau}{h^2}u_{j-1}^{n+1} +\left(1+\dfrac{2k\tau}{h^2}\right)u_{j}^{n+1} - \dfrac{k\tau}{h^2}u_{j+1}^{n+1} = u_j^n, \qquad j=1,2,...,N,$$ (12.29)

$$-\dfrac{2k\tau}{h^2}u_{N}^{n+1} +\left(1+\dfrac{2k\tau}{h^2}\right)u_{N+1}^{n+1}=u_{N+1}^n.$$ (12.30)

Soit maintenant $j$ tel que

$$\vert u_j^{n+1}\vert=\max_{0\le\ell\le N+1}\vert u_\ell^{n+1}\vert.$$

On étudie successivement les cas où $j=0$, $1\le j\le N$ et $j=N+1$.