Présentation du problème de transport

Si $c : (x,t) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{+} \rightarrow c (x,t) \in \mathbb{R}$, $f : (x,t) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{+} \rightarrow f (x,t) \in \mathbb{R}$ et $w : x \in \mathbb{R} \rightarrow w (x) \in \mathbb{R}$ sont des fonctions données, le problème de transport que nous considérons ici consiste à chercher $u : (x,t) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{+} \rightarrow u (x,t) \in \mathbb{R}$ qui satisfait :

$$\dfrac{\partial u}{\partial t} (x,t) + c (x,t) \dfrac{\partial u}... ...rtial x} (x,t) = f (x,t), \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \quad \forall t > 0,$$ (13.1)

$$u (x,0) = w (x), \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$$ (13.2)

Dans la suite, nous présentons quatre schémas de différences finies pour approcher la solution $u$ du problème ci-dessus. Nous analysons ensuite la diffusion et la dispersion induites par ces schémas dans le cas simple où $c = c_{0} =$ constante et $f = 0$.