Solution du problème de transport dans un cas particulier

Supposons que $c (x,t) = c_{0} =$ constante et $f (x,t) = 0$. Le problème (13.1) et (13.2) devient alors

$$\dfrac{\partial u}{\partial t} (x,t) + c_{0} \dfrac{\partial u}{\partial x} (x,t) = 0, \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \quad \forall t > 0,$$ (13.3)

$$u (x,0) = w (x), \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$$ (13.4)

La solution de ce problème est donnée par :

$$u (x,t) = w ( x - c_{0} t ).$$ (13.5)

Ainsi, la condition initiale $w$ est transportée le long de l'axe $O x$ avec la vitesse $c_{0}$. Vous pouvez visualiser la solution $u$ du problème dans le cas où la condition initiale est une marche, c'est-à-dire lorsque

$$w(x) =1 1 < x < 2,$$

$$=0 .$$