Position du problème. Formule composite

Soit $f : x \in \lbrack a,b \rbrack \to f(x) \in {\mathbb{R}}$ une fonction continue donnée sur un intervalle $\lbrack a,b \rbrack$. Nous désirons approcher numériquement la quantité

$$\int_{a}^{b} f(x) dx.$$

Soit $N$ un entier positif, nous posons

$$h = \frac{b-a}{N} \qquad x_{i} = a + i h, \quad i = 0,1, \ldots, N.$$

Nous allons approcher numériquement

$$\int_{a}^{b} f(x) dx$$   par$$\qquad L_h(f)$$

où $L_h(f)$ est la formule composite définie par

$$L_{h}(f) = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{x_{i+1} - x_{i}}{2} \sum_{j=1}^{M} \omega_{j} f\left( x_{i} + (x_{i+1} - x_{i}) \frac{t_{j} + 1}{2} \right).$$

Ici les $M$ points $-1 \leq t_{1} < t_{2} < \cdots < t_{M} \leq 1$ sont appelés points d'intégration et les $M$ nombres réels $\omega_{1}$, $\omega_{2}$, $\ldots$, $\omega_{M}$ sont appelés poids de la formule de quadrature.