Présentation de l'équation des ondes

Soit $f : (x,t) \in [0,1] \times \mathbb{R}^{ +} \to f(x,t) \in \mathbb{R}$, $w:x\in[0,1]\to w(x)\in\mathbb{R}$, $v : x \in [0,1] \to v(x) \in \mathbb{R}$ trois fonctions données et soit $c$ est un nombre positif, le problème que nous considérons ici consiste à chercher une fonction $u : (x,t) \in [0,1] \times \mathbb{R}^{ +} \to u(x,t) \in \mathbb{R}$ qui satisfait :

$$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} (x,t) - c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} (x,t) = f(x,t) \quad \forall x \in \rbrack 0,1 \lbrack, \quad \forall t > 0,$$ (13.14)

$$u(0,t) = u(1,t) = 0 \quad \forall t > 0,$$ (13.15)

$$u(x,0) = w(x) \frac{\partial u}{\partial t} (x,0) = v(x) \quad \forall x \in \rbrack 0,1 \lbrack.$$ (13.16)

Dans la suite, nous présentons le schéma numérique de différences finies donné dans le livre. Nous exposons ensuite quelques études concernant la diffusion et la dispersion induites par ce schéma.