Solution de l'équation des ondes dans un cas particulier

Supposons que $f$ et $v$ soient identiquement nulles et que $w(0)=w(1)=0$. Si $\omega$ est la fonction périodique de période $2$ définie par

$$\omega (x) = w(x) \qquad \forall x\in[0,1],$$

$$\omega (x) = -w(-x) \qquad \forall x\in[-1,0],$$

alors on peut vérifier que la fonction

$$u(x,t) = \frac{1}{2} \Bigl( \omega (x - ct) + \omega (x + ct) \Bigr) \qquad \forall x\in[0,1],\quad \forall t>0,$$

est solution de (13.14) - (13.16).

Ainsi la condition initiale $w$ se divise par deux et chacune des moitiés est transportée le long de l'axe $O x$ avec la vitesse $c$ et $-c$, pour se réfléchir en $x=1$ et $x=-1$.

L'exemple interactif ci-dessous montre ce phénomène dans le cas où la fonction $w$ est une marche.