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Solution de l'équation des ondes dans un cas particulier

Supposons que $ f$ et $ v$ soient identiquement nulles et que $ w(0)=w(1)=0$. Si $ \omega$ est la fonction périodique de période $ 2$ définie par


$\displaystyle \omega (x) = w(x)$ $\displaystyle \qquad$ $\displaystyle \forall x\in[0,1],$  
$\displaystyle \omega (x) = -w(-x)$ $\displaystyle \qquad$ $\displaystyle \forall x\in[-1,0],$  

alors on peut vérifier que la fonction

$\displaystyle u(x,t) = \frac{1}{2} \Bigl( \omega (x - ct) + \omega (x + ct) \Bigr) \qquad \forall x\in[0,1],\quad \forall t>0,$

est solution de (13.14) - (13.16).

Ainsi la condition initiale $ w$ se divise par deux et chacune des moitiés est transportée le long de l'axe $ O x$ avec la vitesse $ c$ et $ -c$, pour se réfléchir en $ x=1$ et $ x=-1$.

L'exemple interactif ci-dessous montre ce phénomène dans le cas où la fonction $ w$ est une marche.

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