Les deux premières étapes de l'algorithme

Première étape

Divisons la première ligne par $2$ et additionnons la nouvelle première ligne à la deuxième :

$$\begin{pmatrix}&1 &-\frac{1}{2} & & & & & \\ &0 &\frac{3}{2} &-1 ... ...ddots &\ddots &-1 & \\ & & & & &-1 &2 &-1 \\ & & & & & &-1 &2 \\ \end{pmatrix}.$$

Deuxième étape

Divisons la deuxième ligne par $\frac 3 2$ et additionnons la nouvelle deuxième ligne à la troisième :

$$\begin{pmatrix}&1 & -\frac{1}{2} & & & & & \\ &0 &1 &-\frac 2 3 &... ...s &\ddots &\ddots & \\ & & & & &-1 &2 &-1 \\ & & & & & &-1 &2 \\ \end{pmatrix}.$$

Nous obtenons finalement une matrice triangulaire supérieure ayant l'allure suivante :

$$\begin{pmatrix}&1 &u_1 & & & & & \\ &0 &1 &u_2 & & & & \\ & &0 &\... ...ddots &u_{N-2} & \\ & & & & &0 &1 &u_{N-1} \\ & & & & & &0 &1 \\ \end{pmatrix},$$

où $u_1=-\frac 1 2$, $u_2=-1/(2+u_1)$, $u_3=-1/(2+u_2)$,... Il est important de constater que l'algorithme d'élimination de Gauss conserve la structure de la matrice, au sens où la matrice est tridiagonale, triangulaire supérieure. Du point de vue informatique, cela signifie qu'il suffit de mémoriser le $N-1$-vecteur de composantes $u_1$, $u_2$, $\ldots$, $u_{N-1}$ pour effectuer l'algorithme d'élimination.

Il est important de ne pas inverser la matrice $A$ lors de la résolution de $A\vec x = \vec b$. En effet, à l'aide du logiciel Matlab (voir par exemple la fin de ce chapitre), nous pouvons inverser la matrice $A$ et constater que $A^{-1}$ est une matrice pleine. De telles opérations sont très coûteuses en temps et en mémoire.