Position du problème

Soit $M$ un entier positif, et soit $N$ tel que $N=M^2$. Dans la section 11.3 du livre, nous avons à résoudre un système linéaire $A\vec{x}=\vec{b}$, la matrice $A$ étant définie par la figure ci-dessous.

Cette matrice est clairement symétrique et de bande de demi-largeur $M+1$. D'après le théorème 11.1, elle est définie positive et nous pouvons effectuer sa décomposition de Cholesky $A=LL^T$ puis effectuer les deux résolutions $L \vec{y}=\vec{b}$ et $L^T \vec{x}=\vec{y}$ pour résoudre le système linéaire. Dans la suite nous proposons un programme effectuant ces opérations, soit en utilisant la bibliothèque numérique Lapack, soit le logiciel Matlab.

Considérons le cas où le $N$-vecteur $\vec{b}$ a pour coefficients

$$b_1 = 2, \quad b_i=i \quad i=2,\ldots,M-1,$$

$$b_M=2M+2, \quad b_{M(i-1)+1}=i \quad i=2,\ldots,M-1,$$

$$b_{M(M-1)+1}=2M+2, \quad b_{M(i-1)+M}=M+1+i \quad i=2,\ldots,M-1,$$

$$b_{N}=4M+4, \quad b_{M(M-1)+i}=M+1+i \quad i=2,\ldots,M-1,$$

les autres coefficients étant nuls. Nous pouvons alors vérifier que le $N$-vecteur $\vec{x}$ a pour coefficients

$$x_{M(i-1)+j} = i+j\qquad i,j=1,\ldots,M.$$

Nous utiliserons ce résultat pour valider nos programmes.