La méthode de Newton

Soit $\vec{x}$ le $N$-vecteur défini par

$$\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix}.$$

Ecrivons le système (8.1) sous la forme $\vec{f}(\vec{x})=\vec{0}$, avec $\vec{f}:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^N$. Nous avons clairement

$$\begin{split}f_1(x_1,\ldots,x_N)&=2 x_1 -x_2 + c(x_1), \\ \vd... ... & \\ f_N(x_1,\ldots,x_N)&=2 x_N -x_{N-1} + c(x_N). \end{split}$$

Etant donné un $N$-vecteur $\vec{x}_0$, la méthode de Newton consiste à résoudre le sytème linéaire

$$Df(\vec{x}^n) \vec{y}^n = -\vec{f}(\vec{x}^n),$$ (8.2)

et à calculer

$$\vec{x}^{n+1} = \vec{x}^n + \vec{y}^n,$$ (8.3)

pour $n=0,1,2,\ldots$.