Motivation : déformation d'une corde élastique

Considérons le problème du déplacement vertical $u(x)$ au point $x$ d'une corde tendue entre les extrémités $x=0$ et $x=1$, soumise à une tension unité et à une densité de charge verticale $f(x)$. Le problème correspondant s'énonce : trouver une fonction $u$ deux fois continûment dérivable sur $\lbrack 0,1 \rbrack$ telle que

$$- u'' (x) = f(x) 0 < x < 1,$$ (10.1)

$$u(0) = u(1) = 0.$$ (10.2)

Voici une illustration interactive de la solution $u$ du problème (10.1) (10.2).

$\bullet$ L'équation (10.1) est une équation différentielle linéaire du second ordre.
$\bullet$ Les égalités (10.2) sont appelées ``conditions aux limites''.
$\bullet$ Le problème (10.1),(10.2) est appelé ``problème du second ordre aux limites 1D''.
$\bullet$ En intégrant (10.1) une fois, on obtient :

$$u'(x) = - \int_0^x f(t)dt + C.$$ (10.3)

$\bullet$ En tenant compte de (10.2), on peut calculer les constantes $C$ et $D$. On obtient finalement

$$u(x) = \left( \int_0^1ds \int_0^s f(t)dt \right)x - \int_0^x ds \int_0^s f(t)dt.$$