Motivation : déformation d'une corde élastique

Considérons le problème du déplacement vertical $ u(x)$ au point $ x$ d'une corde tendue entre les extrémités $ x=0$ et $ x=1$, soumise à une tension unité et à une densité de charge verticale $ f(x)$. Le problème correspondant s'énonce : trouver une fonction $ u$ deux fois continûment dérivable sur $ \lbrack 0,1 \rbrack$ telle que

  $\displaystyle - u'' (x) = f(x)$   si $\displaystyle 0 < x < 1,$ (10.1)
  $\displaystyle u(0) = u(1) = 0.$ (10.2)

Voici une illustration interactive de la solution $ u$ du problème (10.1) (10.2).



$ \bullet$ L'équation (10.1) est une équation différentielle linéaire du second ordre.
$ \bullet$ Les égalités (10.2) sont appelées ``conditions aux limites''.
$ \bullet$ Le problème (10.1),(10.2) est appelé ``problème du second ordre aux limites 1D''.
$ \bullet$ En intégrant (10.1) une fois, on obtient :

$\displaystyle u'(x) = - \int_0^x f(t)dt + C.$ (10.3)

$ \bullet$ En tenant compte de (10.2), on peut calculer les constantes $ C$ et $ D$. On obtient finalement

$\displaystyle u(x) = \left( \int_0^1ds \int_0^s f(t)dt \right)x - \int_0^x ds \int_0^s f(t)dt.$

EPFL-IACS-ASN