Méthode des différences finies

Soit $N$ un entier positif, on pose $h = \frac{1}{N+1}$, $x_j = jh$, $j = 0,...,N+1$.

Pour tout $j=0,..,N+1$, on approche $u(x_j)$ par la valeur $u_j$ définie par :

$$-u''(x_j) = \frac{ -u_{j-1}+2u_j-u_{j+1}}{h^2} = f(x_j), \quad 1 \leq j \leq N,$$

$$u_0 = u_{N+1} = 0.$$

Nous obtenons ainsi le système linéaire

$$A\vec u=\vec f,$$ (10.4)

où $A$ est la $N\times N$ matrice définie par

$$A = \frac{1}{h^{2}} \begin{bmatrix}2 & -1 & \\ -1 & 2 & -1 \\ & \ddots & \ddots&\ddots \\ && -1 & 2 & -1 \\ && & -1& 2 \\ \end{bmatrix},$$

et les $N$-vecteurs $\vec u$ et $\vec f$ sont donnés par

$$\vec u = \begin{bmatrix}u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_N \\ \end{bmatr... ... = \begin{bmatrix}f(x_1) \\ f(x_2) \\ \vdots \\ f(x_N) \\ \end{bmatrix}, \qquad$$

La matrice $A$ étant tridiagonale symétrique définie positive, on résout le système (10.4) par la méthode de Cholesky (voir le chapitre 5 du livre).
Si $f$ est 4 fois continûment dérivable, on a l'estimation d'erreur suivante :

$$\max \limits_{1 \leq j \leq N} \left\vert u(x_j) - u_j \right\vert \leq Ch^2,$$

où $C$ ne dépend pas de $N$ (et donc pas de $h$).
Avec l'exemple interactif ci-dessous, vous pouvez visualiser l'approximation de $u$ par différences finies.