Problème de Poisson 2D : présentation du problème

Soit $\Omega$ un domaine ``régulier'' dans le plan $O_{x_{1} x_{2}}$ de frontière $\partial \Omega$. Si $f:\overline\Omega\to\mathbb{R}$ est une fonction continue donnée, on cherche une fonction $u:\overline\Omega\to\mathbb{R}$ satisfaisant les relations :

$$- \Delta u(x) = f(x) \qquad \forall x \in \Omega,$$ (11.1)

$$u(x) = 0 \qquad \forall x \in \partial \Omega,$$ (11.2)

Ici le point $x$ a deux coordonnées $x_1,x_2$ et on note $x=(x_1,x_2)$.
Le problème est appelé problème de Poisson. Il modélise le déplacement vertical $u(x)$ au point $x$ d'une membrane $\Omega$ tendue, attachée à $\partial \Omega$, et soumise à une densité de force verticale et proportionnelle à $f$. Le problème de Poisson est un problème elliptique (voir définition 11.1 du livre).