Solutions du problème de Poisson dans un cadre particulier

On considère le domaine $\Omega_{\alpha}$ comme étant le disque unité auquel on a retranché un secteur circulaire d'angle $\alpha$

On choisit $f(x)=1, \ \forall x \in \Omega$. Dans la figure ci-dessous, nous avons représenté, pour diverses valeurs de $\alpha$, la dérivée $\frac{\partial u}{\partial x_1}(x_1,0)$ de la solution $u$ du problème (11.1) (11.2) par rapport à $x_1$ sur le segment horizontal $I = \left\{ (x_1,0), \ x_1 \in [0,0.25] \right\}$.

Nous remarquons que plus $\alpha$ est petit, plus la solution devient ``peu régulière'' en $(0,0)$. Le phénomène est compréhensible si nous interprétons $u(x)$ comme le déplacement vertical d'une membrane chargée uniformément et attachée sur le bord $\partial \Omega$ de $\Omega$. En terme pratique, cela signifie que plus $\alpha$ est petit, plus le point $(0,0)$ est une partie fragile de la membrane, depuis laquelle une déchirure est susceptible de se former.