Equation de la chaleur 1D : présentation du problème

Si $f : (x,t) \in [0,1] \times \mathbb{R}^{+} \rightarrow f (x,t) \in \mathbb{R}$ est une fonction continue donnée, et si $k$ est une constante positive, le problème parabolique que nous considérons ici consiste à chercher $u : (x,t) \in [0,1] \times \mathbb{R}^{+} \rightarrow u (x,t) \in \mathbb{R}$ qui satisfait :

$$\dfrac{\partial u}{\partial t} (x,t) -k \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x,t) = f (x,t), \qquad \forall x \in ]0,1[, \quad \forall t > 0,$$ (12.1)

$$\dfrac{\partial u}{\partial x} (0,t) = \dfrac{\partial u}{\partial x} (1,t)=0, \qquad \forall t>0 ,$$ (12.2)

$$u (x,0) = w (x), \qquad \forall x \in ]0,1[,$$ (12.3)

où $w:x\in[0,1]\to w(x)\in\mathbb{R}$ est une condition initiale donnée. Le problème (12.1)-(12.3) est appelé problème de la chaleur; si $u(x,t)$ est la température d'un barreau métallique de longueur unité, alors l'équation (12.1) est l'équation de diffusion de la chaleur lorsque $k$ et $f$ sont respectivement la conductivité thermique et la puissance par unité de longueur fournie au barreau, toutes deux divisées par la densité volumique et la chaleur spécifique massique. Dans ce contexte, la condition aux limites (12.2) signifie que le barreau est thermiquement isolé en $x=0$ et $x=1$.

Dans la suite, nous présentons trois schémas de différences finies pour approcher la solution $u$ du problème ci-dessus. Nous comparons les solutions numériques aux solutions analytiques dans un cadre simple où $f$ est identiquement nulle (pas de source de chaleur apportée au barreau !).