Solution du problème lorsque la source de chaleur est nulle

Puisque le barreau est isolé (condition (12.2)), il est légitime de le ``reproduire'' par parité et 2-périodicité. En supposant $f\equiv 0$, nous allons chercher une fonction $U:(x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\to U(x,t)\in \mathbb{R}$, paire et périodique de période $2$ en $x$ telle que :

$$\dfrac{\partial U}{\partial t} (x,t) -k \dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2} (x,t) = f (x,t), \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \quad \forall t > 0,$$ (12.4)

$$U (x,0) = W (x), \qquad \forall x \in \mathbb{R},$$ (12.5)

où $W$ est le prolongement pair et 2-périodique de $w$, c'est-à-dire

$$W(x)=w(x)\qquad\forall x\in]0,1[,$$

$$W(x)=w(-x)\qquad\forall x\in]-1,0[,$$

$$W(x+2)=w(x)\qquad\forall x\in\mathbb{R}.$$

Puisque $U$ est paire et 2-périodique en $x$, nous pouvons exprimer sa série de Fourier qui sera en cosinus. Ainsi nous écrivons

$$U(x,t) = \dfrac{U_0(t)}{2}+\sum_{j=1}^\infty U_j(t) \cos(j\pi x),$$ (12.6)

où

$$U_j(t) = 2\int_0^1 u(x,t)\cos(j\pi x)dx,\qquad j=0,1,2,3,...$$ (12.7)

En remplaçant formellement (12.6) dans (12.4) nous obtenons

$$\dot{U_0}(t)=0\qquad\forall t>0,$$ (12.8)

$$\dot{U_j}(t)+kj^2\pi^2 U_j(t)=0\qquad\forall t>0,\qquad j=1,2,3,...,$$ (12.9)

où $\dot{U_j}(t) = \frac{d}{dt}U_j(t)$. Les solutions générales de (12.8) (12.9) donnent

$$U_0(t)=C_0\qquad\forall t>0,$$ (12.10)

$$U_j(t)=C_j e^{-kj^2\pi^2 t}\qquad\forall t>0,\qquad j=1,2,3,...,$$ (12.11)

où les $C_j$, $j=0,1,2,3,...$, sont des constantes. Il suffit maintenant de tenir compte de la condition initiale (12.5) et de développer $W$ en série de Fourier, i.e.

$$W(x) = \dfrac{W_0}{2}+\sum_{j=1}^\infty W_j \cos(j\pi x),$$ (12.12)

où

$$W_j = 2\int_0^1 w(x)\cos(j\pi x)dx,\qquad j=0,1,2,3,...,$$ (12.13)

pour obtenir $C_j=W_j$, $j=0,1,2,3,...$. En utilisant ce résultat avec (12.6), (12.10) et (12.11), nous obtenons (du moins formellement !) :

$$U(x,t) = \dfrac{W_0}{2}+\sum_{j=1}^\infty W_j e^{-kj^2\pi^2 t}\cos(j\pi x).$$ (12.14)

Puisque $u(x,t) = U(x,t)$, $\forall x\in [0,1]$, $\forall t>0$, nous exprimons ainsi la solution de (12.1)-(12.3) lorsque $f\equiv 0$ par

$$\boxed{u(x,t) = \dfrac{W_0}{2}+\sum_{j=1}^\infty W_j e^{-kj^2\pi^2 t}\cos(j\pi x), \quad\forall x\in [0,1], \quad\forall t>0,}$$ (12.15)

où les coefficients $W_j$ sont donnés en fonction de la condition initiale $w(x)$ par les relations (12.13).

Nous remarquons que plus $j$ est grand et plus l'amortissement de la $j$-ième harmonique $W_j \cos(j\pi x)$ vers zéro est rapide lorsque le temps $t$ va vers l'infini.

L'exemple interactif ci-dessous illustre ce phénomène.