Solution du problème lorsque la source de chaleur est nulle

Puisque le barreau est isolé (condition (12.2)), il est légitime de le ``reproduire'' par parité et 2-périodicité. En supposant $ f\equiv 0$, nous allons chercher une fonction $ U:(x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\to U(x,t)\in \mathbb{R}$, paire et périodique de période $ 2$ en $ x$ telle que :

    $\displaystyle \dfrac{\partial U}{\partial t} (x,t) -k \dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2} (x,t) =
f (x,t), \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \quad \forall t > 0,$ (12.4)
    $\displaystyle U (x,0) = W (x), \qquad \forall x \in \mathbb{R},$ (12.5)

$ W$ est le prolongement pair et 2-périodique de $ w$, c'est-à-dire
    $\displaystyle W(x)=w(x)\qquad\forall x\in]0,1[,$  
    $\displaystyle W(x)=w(-x)\qquad\forall x\in]-1,0[,$  
    $\displaystyle W(x+2)=w(x)\qquad\forall x\in\mathbb{R}.$  

Puisque $ U$ est paire et 2-périodique en $ x$, nous pouvons exprimer sa série de Fourier qui sera en cosinus. Ainsi nous écrivons

$\displaystyle U(x,t) = \dfrac{U_0(t)}{2}+\sum_{j=1}^\infty U_j(t) \cos(j\pi x),$ (12.6)

$\displaystyle U_j(t) = 2\int_0^1 u(x,t)\cos(j\pi x)dx,\qquad j=0,1,2,3,...$ (12.7)

En remplaçant formellement (12.6) dans (12.4) nous obtenons
    $\displaystyle \dot{U_0}(t)=0\qquad\forall t>0,$ (12.8)
    $\displaystyle \dot{U_j}(t)+kj^2\pi^2 U_j(t)=0\qquad\forall t>0,\qquad j=1,2,3,...,$ (12.9)

$ \dot{U_j}(t) = \frac{d}{dt}U_j(t)$. Les solutions générales de (12.8) (12.9) donnent
    $\displaystyle U_0(t)=C_0\qquad\forall t>0,$ (12.10)
    $\displaystyle U_j(t)=C_j e^{-kj^2\pi^2 t}\qquad\forall t>0,\qquad j=1,2,3,...,$ (12.11)

où les $ C_j$, $ j=0,1,2,3,...$, sont des constantes. Il suffit maintenant de tenir compte de la condition initiale (12.5) et de développer $ W$ en série de Fourier, i.e.

$\displaystyle W(x) = \dfrac{W_0}{2}+\sum_{j=1}^\infty W_j \cos(j\pi x),$ (12.12)

$\displaystyle W_j = 2\int_0^1 w(x)\cos(j\pi x)dx,\qquad j=0,1,2,3,...,$ (12.13)

pour obtenir $ C_j=W_j$, $ j=0,1,2,3,...$. En utilisant ce résultat avec (12.6), (12.10) et (12.11), nous obtenons (du moins formellement !) :

$\displaystyle U(x,t) = \dfrac{W_0}{2}+\sum_{j=1}^\infty W_j e^{-kj^2\pi^2 t}\cos(j\pi x).$ (12.14)

Puisque $ u(x,t) = U(x,t)$, $ \forall x\in [0,1]$, $ \forall t>0$, nous exprimons ainsi la solution de (12.1)-(12.3) lorsque $ f\equiv 0$ par

$\displaystyle \boxed{u(x,t) = \dfrac{W_0}{2}+\sum_{j=1}^\infty W_j e^{-kj^2\pi^2 t}\cos(j\pi x), \quad\forall x\in [0,1], \quad\forall t>0,}$ (12.15)

où les coefficients $ W_j$ sont donnés en fonction de la condition initiale $ w(x)$ par les relations (12.13).

Nous remarquons que plus $ j$ est grand et plus l'amortissement de la $ j$-ième harmonique $ W_j \cos(j\pi x)$ vers zéro est rapide lorsque le temps $ t$ va vers l'infini.

L'exemple interactif ci-dessous illustre ce phénomène.




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EPFL-IACS-ASN