Puisque le barreau est isolé (condition (12.2)), il est légitime de
le ``reproduire'' par parité et 2-périodicité. En supposant
, nous
allons chercher une fonction
,
paire et périodique de période
en
telle que :
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(12.4) |
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(12.5) |
où
est le prolongement pair et 2-périodique de
, c'est-à-dire
Puisque
est paire et 2-périodique en
, nous pouvons exprimer
sa série de Fourier qui sera en cosinus. Ainsi nous écrivons
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(12.6) |
où
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(12.7) |
En remplaçant formellement (12.6) dans (12.4) nous obtenons
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(12.8) |
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(12.9) |
où
. Les solutions générales de
(12.8) (12.9) donnent
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(12.10) |
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(12.11) |
où les
,
, sont des constantes.
Il suffit maintenant de tenir compte de la condition initiale (12.5) et
de développer
en série de Fourier, i.e.
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(12.12) |
où
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(12.13) |
pour obtenir
,
. En utilisant ce résultat avec (12.6),
(12.10) et (12.11), nous obtenons (du moins formellement !) :
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(12.14) |
Puisque
,
,
, nous exprimons ainsi la
solution de (12.1)-(12.3) lorsque
par
![$\displaystyle \boxed{u(x,t) = \dfrac{W_0}{2}+\sum_{j=1}^\infty W_j e^{-kj^2\pi^2 t}\cos(j\pi x), \quad\forall x\in [0,1], \quad\forall t>0,}$](img506.png) |
(12.15) |
où les coefficients
sont donnés en fonction de la condition initiale
par les relations (12.13).
Nous remarquons que plus
est grand et plus l'amortissement
de la
-ième harmonique
vers zéro est rapide lorsque le temps
va vers l'infini.
L'exemple interactif ci-dessous illustre ce phénomène.
Subsections
EPFL-IACS-ASN