Schéma de Crank-Nicholson

Les schémas d'Euler sont d'ordre 1 en temps. Pour obtenir un schéma d'ordre 2, nous pouvons utiliser une moyenne des schémas d'Euler progressif et rétrograde pour obtenir

$$\dfrac{u_{0}^{n+1} - u_{0}^{n}}{\tau} + \dfrac 1 2 k \left( \dfra... ...{h^2}\right) = \dfrac 1 2 \left(f ( x_{0}, t_{n} )+f ( x_{0}, t_{n+1} )\right),$$ (12.31)

$$\dfrac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\tau} + \dfrac 1 2 k \left( \dfra... ...c 1 2 \left(f ( x_{j}, t_{n} )+f ( x_{j}, t_{n+1} )\right), \qquad j=1,2,...,N,$$ (12.32)

$$\dfrac{u_{N+1}^{n+1} - u_{N+1}^{n}}{\tau} + \dfrac 1 2 k \left( \... ... \right) = \dfrac 1 2 \left(f ( x_{N+1}, t_{n} )+f ( x_{N+1}, t_{n+1} )\right).$$ (12.33)

Ce schéma est d'ordre 2 en temps et en espace; il est implicite, c'est-à-dire que l'on doit ici encore résoudre un système linéaire pour obtenir les $u_j^{n+1}$ à partir des $u_j^n$.