Stabilité du schéma de Crank-Nicholson

En reprenant les mêmes arguments que ceux utilisés pour les schémas d'Euler, on montre sans difficulté que si $\tau\le \frac{h^2}{k}$, alors on a

$$\max_{0\le j\le N+1}\vert u_j^{n+1}\vert \le\max_{0\le j\le N+1} \vert u_j^n\vert,$$

pour autant que $f\equiv 0$. Si $\tau> \frac{h^2}{k}$ on perd malheureusement cette stabilité dite en norme du maximum. En revanche, on peut montrer que, quel que soit le pas de temps $\tau$ choisi, on a toujours (lorsque $f\equiv 0$)

$$\sum_{j=0}^{N+1}\vert u_j^{n+1}\vert^2 \le\sum_{j=0}^{N+1}\vert u_j^n\vert^2,$$

et on parle de stabilité en norme quadratique. Le schéma de Crank-Nicholson est inconditionnellement stable en norme quadratique. Comme vous pouvez le constater sur l'exemple interactif suivant, il n'y a pas de limitation sur le pas de temps semblable à (12.23). En revanche, des oscillations peuvent se produire lorsque $\tau> \frac{h^2}{k}$.