Stabilité du schéma

Considérons les schémas (12.20)-(12.22) et supposons que le pas de temps est choisi de sorte que la condition de stabilité

$$\boxed{\tau\le \dfrac{h^2}{2k}}$$ (12.23)

est satisfaite. Nous avons ainsi $\frac {2k\tau}{h^2}\le 1$. Si nous admettons maintenant que $f\equiv 0$ (source de chaleur nulle) alors (12.20) devient :

$$u_0^{n+1}=\left(1-\dfrac{2k\tau}{h^2}\right)u_0^n +\dfrac{2k\tau}{h^2} u_1^n,$$

et par suite, en constatant que $\vert u_0^n\vert$ et $\vert u_1^n\vert$ sont majorés par $\max_{0\le\ell\le N+1} \vert u_\ell^n\vert$ :

$$\vert u_0^{n+1}\vert\le \left(1-\dfrac{2k\tau}{h^2}\right)\vert u... ...ac{2k\tau}{h^2} \vert u_1^n\vert\le \max_{0\le\ell\le N+1} \vert u_\ell^n\vert.$$ (12.24)

De même (12.21) devient :

$$u_j^{n+1}=\dfrac{k\tau}{h^2} u_{j-1}^n +\left(1-\dfrac{2k\tau}{h^2}\right)u_j^n +\dfrac{k\tau}{h^2} u_{j+1}^n,$$

et par suite :

$$\vert u_j^{n+1}\vert\le\dfrac{k\tau}{h^2} \vert u_{j-1}^n\vert +\... ...\tau}{h^2} \vert u_{j+1}^n\vert \le \max_{0\le\ell\le N+1} \vert u_\ell^n\vert.$$

De la même manière nous obtenons à partir de (12.22) que $\vert u_{N+1}^{n+1}\vert\le \max_{0\le\ell\le N+1} \vert u_\ell^n\vert$.

Nous avons donc prouvé que, sous la condition de stabilité (12.23), nous avons $\vert u_j^{n+1}\vert\le \max_{0\le\ell\le N+1} \vert u_\ell^n\vert$ pour tout $j=0,1,2,...,N+1$ et donc

$$\boxed{ \max_{0\le j\le N+1}\vert u_j^{n+1}\vert\le\max_{0\le\ell\le N+1} \vert u_\ell^n\vert.}$$

L'exemple interactif suivant illustre la décroissance du maximum de la température sous la condition de stabilité (12.23). Si nous avons le malheur de prendre $\tau\ge \frac{h^2}{2k}$, alors ce résultat n'est plus vrai et nous assistons au développement d'instabilités numériques. Dans ce cas nous dirons que le schéma est instable dans la norme du maximum.