Généralités sur les schémas de différences finies

Nous introduisons un pas spatial $h>0$ et un pas temporel $\tau > 0$. Nous définissons ensuite

$$x_{j} = j h$$   avec$$\qquad j = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots,$$

et

$$t_{n} = n \tau$$   avec$$\qquad n = 0,1,2, \ldots .$$

Les points $x_{j}$ et $t_{n}$ sont représentés dans la grille ci-dessous :

Soit $u$ la solution du problème (13.1) et (13.2). Dans la suite, les nombres $u_{j}^{n}$ sont des approximations de

$$u ( x_{j}, t_{n} ), j = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots, n = 0,1,2, \ldots,$$

(on note $u_{j}^{n}\simeq u ( x_{j}, t_{n} )$). Les schémas numériques que nous présentons ici ont tous pour but de calculer explicitement les $u_{j}^{n+1}$, $j\in\mathbb{Z}$, lorsque tous les $u_{j}^{n}$, $j\in\mathbb{Z}$, sont connus (on parle de schémas explicites). Ainsi, on pose $u_{j}^{0} = w ( x_{j} )$, $j\in\mathbb{Z}$, et il est possible de calculer successivement tous les $u_{j}^{1}$, $j\in\mathbb{Z}$, puis tous les $u_{j}^{2}$, $j\in\mathbb{Z}$, etc.. (on parle parfois de schémas de marche).