Le coefficient d'amplification (suite)

Si la condition initiale $w$ est définie par $w (x) = e^{imx} \left( = \cos m x + i \sin mx \right)$ où $m$ est un entier positif, alors $u (x,t) = e^{imx}\cdot e^{-im c_{0} t}$. La partie réelle de $u$ est donc donnée par $\cos (mx - m c_{0} t)$, i.e. une cosinusoïde qui se déplace à la vitesse $mc_0 t$.

D'autre part, si $w (x) = e^{imx}$, alors $u_{j}^{0} = e^{imjh}$ et on obtient, pour les trois premiers schémas (décentré, Lax et Lax-Wendroff) :

$$u_{j}^{n} = \left( \gamma_{m} \right)^{n} u_{j}^{0}.$$ (13.6)

Ici le nombre complexe $\gamma_{m}$ est appelé coefficient d'amplification de la $m$-ième harmonique.

On pose $\lambda = \dfrac{c_{0} \tau}{h}$, le coefficient $\gamma_{m}$ est donné par :

Schéma décentré :

$$\gamma_{m} = 1 - \vert \lambda \vert ( 1 - \cos mh ) - i \lambda \sin mh.$$ (13.7)

Schéma de Lax :

$$\gamma_{m} = \cos mh - i \lambda \sin mh.$$ (13.8)

Schéma de Lax-Wendroff :

$$\gamma_{m} = 1 - i\lambda \sin mh - \lambda^{2} ( 1 - \cos mh).$$ (13.9)

Le schéma saute-mouton est à deux niveaux. Le coefficient d'amplification $\gamma_{m}$ est une $2\times 2$ matrice complexe et on vérifie que dans ce cas

$$\begin{bmatrix} u_{j}^{n+1} \\ \\ u_{j}^{n} \\ \end{bmatrix}= ... ...{m} \right)^{n} \begin{bmatrix} u_{j}^{1} \\ \\ u_{j}^{0} \\ \end{bmatrix},$$

où

$$\gamma_{m} \quad = \begin{bmatrix}- 2 i \lambda \sin mh & & 1 \\ \\ 1 & & 0 \\ \end{bmatrix}.$$ (13.10)