Un schéma de différences finies

Nous introduisons un pas spatial $ h = \frac{1}{N+1}$, où $ N$ est un entier positif, et un pas temporel $ \tau > 0$. Nous définissons ensuite

$\displaystyle x_{j} = jh \qquad j=0,1,2,...,N+1,
$

et

$\displaystyle t_{n} = n\tau \qquad n=0,1,2,....
$

Les noeuds $ x_{j}$ et les temps $ t_{n}$ sont représentés dans la grille ci-dessous :

\begin{figure*}
% latex2html id marker 21634\setlength{\unitlength}{0.240900pt...
...,313){\line(1,0){647}}
\put(257,410){\line(1,0){647}}
\end{picture}\end{figure*}

Soit $ u$ la solution du problème (13.14)-(13.16). On note $ u_{j}^{n}$ une approximation de $ u ( x_{j}, t_{n} )$, $ 0 \leq j \leq N+1$ et $ n=0,1,2,...$. Le schéma introduit dans le livre est un schéma de différences finies explicite à deux pas de temps que l'on peut formuler de la manière suivante :


    $\displaystyle \frac{u_{j}^{n+1} - 2 u_{j}^{n} + u_{j}^{n-1}}{\tau^{2}} + c^{2}
\frac{-u_{j-1}^{n}+2 u_{j}^{n}-u_{j+1}^{n}}{h^{2}} = f (x_{j}, t_{n}),$  
    $\displaystyle \qquad j=1,2,...,N \qquad n = 1,2,\ldots,$ (13.17)
    $\displaystyle u_{0}^{n} = u_{N+1}^{n} = 0, \quad n=0,1,2,\ldots,$ (13.18)
    $\displaystyle u_{j}^{0} = w(x_{j}),$  
    $\displaystyle \frac{u_{j}^{1}-u_{j}^{0}}{\tau} = v(x_{j}) + \tau g_{j}, \quad j=1,2,...,N.$ (13.19)

où la quantité $ g_{j}$ est un facteur de correction (voir livre) donné par

$\displaystyle g_{j} = \frac{1}{2} \Bigl( f(x_{j}, 0)-c^{2}
\frac{-w(x_{j-1})+2w(x_{j})-w(x_{j+1})}{h^{2}} \Bigr)
$

et qui fait que le schéma (13.17)-(13.19) est d'ordre 2 en temps.

EPFL-IACS-ASN