Un schéma de différences finies

Nous introduisons un pas spatial $h = \frac{1}{N+1}$, où $N$ est un entier positif, et un pas temporel $\tau > 0$. Nous définissons ensuite

$$x_{j} = jh \qquad j=0,1,2,...,N+1,$$

et

$$t_{n} = n\tau \qquad n=0,1,2,....$$

Les noeuds $x_{j}$ et les temps $t_{n}$ sont représentés dans la grille ci-dessous :

Soit $u$ la solution du problème (13.14)-(13.16). On note $u_{j}^{n}$ une approximation de $u ( x_{j}, t_{n} )$, $0 \leq j \leq N+1$ et $n=0,1,2,...$. Le schéma introduit dans le livre est un schéma de différences finies explicite à deux pas de temps que l'on peut formuler de la manière suivante :

$$\frac{u_{j}^{n+1} - 2 u_{j}^{n} + u_{j}^{n-1}}{\tau^{2}} + c^{2} \frac{-u_{j-1}^{n}+2 u_{j}^{n}-u_{j+1}^{n}}{h^{2}} = f (x_{j}, t_{n}),$$

$$\qquad j=1,2,...,N \qquad n = 1,2,\ldots,$$ (13.17)

$$u_{0}^{n} = u_{N+1}^{n} = 0, \quad n=0,1,2,\ldots,$$ (13.18)

$$u_{j}^{0} = w(x_{j}),$$

$$\frac{u_{j}^{1}-u_{j}^{0}}{\tau} = v(x_{j}) + \tau g_{j}, \quad j=1,2,...,N.$$ (13.19)

où la quantité $g_{j}$ est un facteur de correction (voir livre) donné par

$$g_{j} = \frac{1}{2} \Bigl( f(x_{j}, 0)-c^{2} \frac{-w(x_{j-1})+2w(x_{j})-w(x_{j+1})}{h^{2}} \Bigr)$$

et qui fait que le schéma (13.17)-(13.19) est d'ordre 2 en temps.