Un schéma de différences finies (suite)

Schématiquement les valeurs $u_{j}^{n+1}$ sont obtenues à partir des valeurs $u_{k}^{n}$ et $u_{k}^{n-1}$ selon le diagramme suivant :

On obtient ainsi

$$u_{j}^{n+1} = 2 \left(1 - \lambda\right) u_{j}^{n} + \lambda \Bigl(u_{j-1}^{n} + u_{j+1}^{n}\Bigr) - u_{j}^{n-1} + \tau^{2} f(x_{j},t_{n}),$$ (13.20)

pour $j=1, \ldots, N$, où $\lambda$ est donné par

$$\fbox{$\lambda = \dfrac{\tau^{2}c^{2}}{h^{2}}$}$$ (13.21)

Sous forme matricielle, (13.17)-(13.19) peut s'écrire

$$\frac{\vec{u}^{n+1} - 2 \vec{u}^{n} + \vec{u}^{n-1}}{\tau^{2}} + c^{2} A \vec{u}^{n} = \vec{f}(t_{n}), \qquad n = 1,2,3,\ldots,$$ (13.22)

$$\vec{u}^{0} = \vec{w}, \qquad \vec{u}^{1} = \vec{w} + \tau \vec{v} + \frac{1}{2} \tau^{2} (\vec{f}(0)-c^{2} A \vec{w}),$$ (13.23)

où $\vec{u}^{n}$ est le vecteur de composantes $(u_{j}^{n})_{j=1}^{N}$, $v$ et $w$ sont les $N$-vecteurs de composantes $(v(x_{j}))_{j=1}^{N}$ et $(w(x_{j}))_{j=1}^{N}$ respectivement, $\vec{f}(t)$ est le$N$-vecteur de composantes $(f(x_{j}, t))_{j=1}^{N}$ et $A$ est la $N\times N$ matrice donnée par

$$A = \frac{1}{h^{2}} \begin{bmatrix}2 & -1 & \\ -1 & \ddots & \ddots \\ & \ddots &\ddots & -1 \\ & & -1 & 2 \\ \end{bmatrix}.$$ (13.24)