Coefficient d'amplification

On suppose à nouveau que $ f$ et $ v$ sont identiquement nuls et que $ w(0)=w(1)=0$. Nous avons vu que la solution du problème (13.14)- (13.16) est donnée par

$\displaystyle u(x,t) = \frac{1}{2} \Bigl( \omega (x - ct) + \omega (x + ct) \Bigr)
\qquad \forall x\in[0,1],\quad \forall t>0,$ (13.25)

$ \omega$ est la fonction 2-périodique, impaire, égale à $ w$ sur $ [0,1]$. Si la condition initiale $ w$ est définie par

$\displaystyle w(x) = \sin m \pi x$ (13.26)

$ m$ est un entier positif, on obtient alors, en utilisant (13.25) (voir livre)

$\displaystyle u(x,t) = \sin (m \pi x)\cos (m \pi c t).$    

L'allure de la fonction $ u$ au cours du temps est représentée dans l'exemple interactif suivant.



Dans ce cas précis il est possible de calculer explicitement les valeurs $ u_{j}^{n}$ qui sont données (voir livre) par

$\displaystyle u_{j}^{n} = \alpha_{m,n} u_{j}^{0}$ (13.27)

$ u_{j}^{0} = \sin(m \pi jh)$ et les coefficients $ \alpha_{m,n}$ (notés $ \alpha_{n}$ dans le livre) sont fournis par les formules de récurrence :


    $\displaystyle \alpha_{m,0} = 1,$  
    $\displaystyle \alpha_{m,1} = 1 - \lambda(1-\cos{m \pi h}),$ (13.28)
    $\displaystyle \alpha_{m,n} = 2 \alpha_{m,1} \alpha_{m,n-1} - \alpha_{m,n-2}, \qquad n= 2,3,
\ldots$  

Les coefficients $ \alpha_{m,n}$ sont les coefficients d'amplification de la m-ième harmonique.

EPFL-IACS-ASN