Coefficient d'amplification

On suppose à nouveau que $f$ et $v$ sont identiquement nuls et que $w(0)=w(1)=0$. Nous avons vu que la solution du problème (13.14)- (13.16) est donnée par

$$u(x,t) = \frac{1}{2} \Bigl( \omega (x - ct) + \omega (x + ct) \Bigr) \qquad \forall x\in[0,1],\quad \forall t>0,$$ (13.25)

où $\omega$ est la fonction 2-périodique, impaire, égale à $w$ sur $[0,1]$. Si la condition initiale $w$ est définie par

$$w(x) = \sin m \pi x$$ (13.26)

où $m$ est un entier positif, on obtient alors, en utilisant (13.25) (voir livre)

$$u(x,t) = \sin (m \pi x)\cos (m \pi c t).$$

L'allure de la fonction $u$ au cours du temps est représentée dans l'exemple interactif suivant.

Dans ce cas précis il est possible de calculer explicitement les valeurs $u_{j}^{n}$ qui sont données (voir livre) par

$$u_{j}^{n} = \alpha_{m,n} u_{j}^{0}$$ (13.27)

où $u_{j}^{0} = \sin(m \pi jh)$ et les coefficients $\alpha_{m,n}$ (notés $\alpha_{n}$ dans le livre) sont fournis par les formules de récurrence :

$$\alpha_{m,0} = 1,$$

$$\alpha_{m,1} = 1 - \lambda(1-\cos{m \pi h}),$$ (13.28)

$$\alpha_{m,n} = 2 \alpha_{m,1} \alpha_{m,n-1} - \alpha_{m,n-2}, \qquad n= 2,3, \ldots$$

Les coefficients $\alpha_{m,n}$ sont les coefficients d'amplification de la m-ième harmonique.