Diffusion du schéma

Puisque dans le cas $f\equiv 0$, $v \equiv 0$, $w(x) = sin(m \pi x)$, la solution exacte $u$ est donnée par $u(x,t) = \cos(m \pi ct) \sin(m \pi x)$ et la solution numérique $u_{j}^{n}$ est donnée par $u_{j}^{n} = \alpha_{m,n} \sin(m \pi jh)$, il nous reste à comparer $\alpha_{m,n}$ à $\cos(m \pi cn \tau)$.

En suivant la démonstration du théorème 13.1 du livre, nous pouvons voir que $\alpha_{m,n}$ est calculable explicitement. On a

$$\alpha_{m,n} = \frac{1}{2} \Bigl( (s_{m+})^{n} + (s_{m-})^{n} \Bigr),$$ (13.31)

où $s_{m+}$ et $s_{m-}$ sont donnés par

$$s_{m \pm} = \alpha_{m,1} \pm \sqrt{\alpha_{m,1}^{2} - 1} .$$

La condition de stabilité est imposée par $\vert\alpha_{m,1}\vert \leq 1$ et par suite

$$s_{m \pm} = \alpha_{m,1} \pm i \sqrt{1 - \alpha_{m,1}^{2}} .$$

Si $\phi = \arccos(\alpha_{m,1})$, alors on vérifie que $s_{m \pm} = e^{\pm i \phi}$ et, par suite, que

$$\fbox{$\alpha_{m,n} = \cos(n \phi)$}$$ (13.32)

On peut démontrer que $lim_{n \rightarrow \infty} sup(\alpha_{m,n}) = 1$ et ainsi le schéma numérique ne diffuse pas l'harmonique d'ordre $m$ et ceci quel que soit $m$. L'exemple interactif suivant illustre l'absence de diffusion du schéma.