Schéma progressif décentré

Si $N$ est un entier positif, nous introduisons le pas spatial $h=\frac 1 {N+1}$ et les noeuds $x_j = jh$ avec $j=0,1,2,\ldots,N+1$. Nous choisissons encore un pas temporel $\tau > 0$ et calculons les temps $t_n=n\tau$, $n=0,1,2,\ldots$. Les points $x_{j}$ et $t_{n}$ sont représentés dans la grille ci-dessous :

Si $u ( x_{j}, t_{n} )$ est la valeur de la solution du problème (14.1)-(14.3) au noeud $x_j$ et au temps $t_n$, nous notons $u_{j}^{n}$ son approximation ( $u_{j}^{n}\simeq u ( x_{j}, t_{n} )$) par le schéma d'Euler progressif décentré.

La condition initiale (14.2) se traduit par :

$$u_j^0 = w(x_j)\qquad j=0,\ldots,N+1,$$

les conditions aux limites (14.3) par :

$$u_0^n = u_{N+1}^n = 0\qquad n=0,1,2\ldots.$$

Les valeurs $u_j^n$, $j=0,\ldots,N+1$ étant connues, les valeurs $u_i^{n+1}$, $i=1,\ldots,N$ sont calculées grâce au schéma suivant :

$$\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\tau} +\varepsilon\dfrac{-u_{j-1}^{n}+2u_j^{n}-u_{j+1}^{n}}{h^2} +c_0\dfrac{u_j^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}=f(x_j,t^n).$$ (14.4)

Ce schéma est explicite puisqu'il permet de calculer explicitement tous les $u_j^{n+1}$, $j=1, \ldots, N$, à partir de tous les $u_j^n$, $i=0,\ldots,N+1$. Il est décentré dans la mesure où le terme de convection

$$c_0 \dfrac{\partial u}{\partial x}(x_j,t^{n})$$

est approché par une formule de différences finies rétrograde (voir le chapitre 2 du livre)

$$c_0 \dfrac{u_j^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}.$$

Le choix de la formule de différences finies (progressive ou rétrograde) dépend du signe de $c_0$. Si le coefficient $c_0$ était négatif, nous aurions choisi une formule de différences finies progressive

$$c_0 \dfrac{u_{j+1}^{n}-u_{j}^{n}}{h}.$$