Formule composite de Simpson

On choisit $M=3$, $t_1=-1$, $t_2=0$, $t_3=+1$, $\omega_1=1/3$, $\omega_2=4/3$, $\omega_3=1/3$. La formule composite devient

$$L_{h}(f) = \sum_{i=0}^{N-1} \dfrac{x_{i+1} - x_{i}}{6} \left(f(x_i)+4 f \left(\frac{x_{i} + x_{i+1}}{2}\right)+f(x_{i+1})\right).$$

La simulation ci-dessous permet de visualiser $\int_a^b f(x)dx$ (aire entre la courbe rouge et l'axe des x) ainsi que $L_h(f)$ (aire entre la courbe bleue et l'axe des x).

D'après le livre, si $f$ est quatre fois continûment dérivable, on a :

$$\left\vert \int_{a}^{b} f(x) dx - L_{h}(f) \right\vert \leq C h^{4},$$

où $C$ ne dépend pas de $h$ (ou $N$).