Formule composite de Gauss-Legendre

Dans le cas de la formule de Gauss-Legendre à $M$ points, les points d'intégration $t_1,t_2,...,t_M$ sont les zéros du polynôme de Gauss-Legendre $L_M(t)$ définis par

$$L_{M}(t) = \dfrac{1}{2^{M} M !} \dfrac{d^{M}}{dt^{M}} (t^{2} - 1)^{M}.$$

Les poids $\omega_1,\omega_2,...,\omega_M$ sont définis par

$$\omega_{j} = \int_{-1}^{+1} \varphi_{j}(t) dt, \qquad j = 1,2, \ldots, M,$$

où $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \cdots, \varphi_{M}$ est la base de Lagrange des polynômes de degré $M-1$ associée aux $M$ points $t_1,t_2,...,t_M$.

La simulation ci-dessous permet de visualiser $\int_a^b f(x)dx$ (aire entre la courbe rouge et l'axe des x) ainsi que $L_h(f)$ (aire entre la courbe bleue et l'axe des x).

D'après le livre, si $f$ est $2M$ fois continûment dérivable, on a :

$$\left\vert \int_{a}^{b} f(x) dx - L_{h}(f) \right\vert \leq C h^{2M},$$

où $C$ ne dépend pas de $h$ (ou $N$).

Par exemple, on choisit $M=2$, $t_1=-1/\sqrt{3}$, $t_2=+1/\sqrt{3}$, $\omega_1=1$, $\omega_2=1$. La formule composite de Gauss-Legendre à deux points s'écrit

$$L_{h}(f) = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{x_{i+1} - x_{i}}{2} \Biggl\{ f \left( x_{i} + \frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{3}} (x_{i+1} - x_{i}) \right)$$

$$+ f \left( x_{i} + \frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{3}} (x_{i+1} - x_{i}) \right)\Biggr\}.$$