Les équations du mouvement

Ecrivons les équations de Newton pour les deux billes (masse x accélération = forces extérieures). Nous obtenons

$$x''_1(t) =F_1(t)+F_2(t),$$

$$x''_2(t) =-F_2(t)+F_3(t).$$

Puisque les forces sont proportionnelles à l'allongement du ressort nous avons

$$F_1(t)=-x_1(t),\qquad F_2(t)=x_2(t)-x_1(t),\qquad F_3(t)=-x_2(t),$$

et donc

$$x''_1(t) =-2x_1(t)+x_2(t),$$

$$x''_2(t) = x_1(t)-2x_2(t).$$

Ecrivons cette relation sous forme matricielle. Soit

$$\vec{x}(t)= \begin{pmatrix}x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix}, \qquad A= \begin{pmatrix}2&-1 \\ -1&2 \end{pmatrix},$$

les équations du mouvement s'écrivent

$$\vec{x}''(t)=-A\vec{x}(t).$$