Résolution des équations du mouvement

Nous allons maintenant chercher les positions des billes $x_1(t)$ et $x_2(t)$ sous la forme

$$x_1(t)=C_1 cos(\omega t),\qquad x_2(t)=C_2 cos(\omega t),$$

les grandeurs $C_1$, $C_2$ et $\omega$ étant inconnues. Injectons ces relations dans les équations du mouvement. Puisque

$$x''_1(t)=-\omega^2 C_1 cos(\omega t),\qquad x''_2(t)=-\omega^2 C_2 cos(\omega t),$$

nous obtenons, après avoir simplifié par $cos(\omega t)$

$$A\begin{pmatrix}C_1 \\ C_2 \end{pmatrix} =\omega^2 \begin{pmatrix}C_1 \\ C_2 \end{pmatrix}.$$ (7.1)

Le problème revient donc à chercher $C_1\neq 0$, $C_2 \neq 0$ et $\omega$ tels que les deux équations ci-dessus soient satisfaites.