Un exemple pour lequel l'interpolation de Lagrange diverge

Soit $f$ définie par $f(t)=1/(1+25t^2)$ sur l'intervalle $[-1,1]$. Bien que $f$ soit indéfiniment continûment dérivable sur l'intervalle $[-1,1]$, les grandeurs

$$\max_{-1\le t\le 1} \vert f^{k}(t)\vert,\qquad k=1,2,3,...$$

explosent très rapidement et l'inégalité (1.1) ne nous assure plus la convergence de l'interpolation.

Dans l'exemple interactif suivant, la fonction $f$ (en rouge) ainsi que le polynôme $p_n$ (en bleu) sont représentés. Vous pouvez changer le nombre de points d'interpolations et constater que l'interpolation de Lagrange avec une distribution uniforme des points d'interpolation diverge. En revanche, si les points d'interpolation sont choisis comme étant les zéros des polynômes de Tchebycheff

$$t_i=cos\left(\dfrac{2i+1}{2(n+1)} \pi\right)\qquad i=0,1,2,..,n,$$

alors le polynôme $p_n$ converge vers la fonction $f$ en tout point de l'intervalle $[a,b]$.