Sur la convergence de l'interpolation de Lagrange

Soit $[a,b]$ un intervalle, soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une fonction continue donnée, soit $n$ un entier positif donné et soit $t_0, t_1, t_2,\ldots,t_n$ des points de $[a,b]$ distincts donnés. Nous notons $p_n$ le polynôme de degré $n$ interpolant $f$ aux points $t_0, t_1, t_2,\ldots,t_n$ (voir section 1.4 du livre). Considérons le cas où les points d'interpolation sont équidistants, c'est-à-dire $t_i=a+ih$, $i=0,\ldots,n$, avec $h=(b-a)/n$.

Le théorème 1.1 du livre nous assure que, si $f$ est continue et que toutes ses dérivées sont continues jusqu'à l'ordre $n+1$, alors

$$\max\limits_{t\in[a,b]} \vert f(t)-p_n(t)\vert \le \dfrac{1}{2(n+... ...ft(\dfrac{b-a}{n}\right)^{(n+1)} \max\limits_{t\in[a,b]} \vert f^{n+1}(t)\vert.$$ (1.1)

Nous pourrions nous attendre a priori à ce que

$$\max\limits_{t\in[a,b]}\vert f(t)-p_n(t)\vert \to 0 \qquad n\to\infty.$$

Ceci n'est malheureusement pas souvent le cas car les dérivées $f^{n+1}$ de $f$ peuvent grandir très vite lorsque $n$ croît. Dans la suite, nous présentons deux exemples, un pour lequel l'interpolation de Lagrange converge, l'autre pour lequel l'interpolation de Lagrange diverge.