Equations différentielles du premier ordre : généralités

Soit $f \ : \ (x,t) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{+} \to f(x,t) \in \mathbb{R}$ une fonction donnée à deux variables $x$ et $t$. Etant donnée une valeur $u_0 \in \mathbb{R}$, on cherche une fonction $u : \ t \in \mathbb{R}^{+} \to u(t) \in \mathbb{R}$ qui satisfait

$$\dot{u} (t) = f(u(t),t) t>0,$$ (9.1)

$$u(0) = u_0.$$ (9.2)

Le problème (9.1)-(9.2) est appelé problème de Cauchy. L'équation (9.1) est une équation différentielle, et la relation (9.2) est une condition de Cauchy.