Problèmes numériquement mal posés

Soit une fonction lipschitzienne par rapport à la variable , i.e. vérifiant la relation (9.3). Nous savons donc que, pour tout donné, il existe une solution globale unique au problème de Cauchy correspondant.

Néanmoins, dans certains cas, une toute petite modification de la valeur initiale (due par exemple aux erreurs d'arrondis) induit une énorme différence sur la solution du problème de Cauchy au temps . On dit alors que le problème est numériquement mal posé.

Nous reprenons l'exemple de la section 9.2 du livre : on considère le problème

	$\displaystyle \dot{u}(t) = 3u(t)-3t$ si $\displaystyle t>0,$
	$\displaystyle u(0) = u_0.$

, la solution du problème est donnée par

. Si $u(0)=1/3+\varepsilon$ , la solution du problème de Cauchy est donnée par $u(t)=\varepsilon e^{3t}+t+1/3$ . La différence entre ces deux solutions est donc $\varepsilon e^{3t}$ et pourrait être grande même si $\varepsilon$ est petit.

En effet, pour , la différence absolue est de l'ordre de $\varepsilon 10^{13}$ , la différence relative de l'ordre de $\varepsilon 10^{12}$ . Il faut donc 13 chiffres significatifs pour obtenir le résultat à 10% près !

L'applet suivante illustre ce phénomène.

EPFL-IACS-ASN