Problèmes numériquement mal posés

Soit $f(x,t)$ une fonction lipschitzienne par rapport à la variable $x$, i.e. vérifiant la relation (9.3). Nous savons donc que, pour tout $u_0$ donné, il existe une solution globale unique au problème de Cauchy correspondant.

Néanmoins, dans certains cas, une toute petite modification de la valeur initiale $u_0$ (due par exemple aux erreurs d'arrondis) induit une énorme différence sur la solution du problème de Cauchy au temps $t$. On dit alors que le problème est numériquement mal posé.

Nous reprenons l'exemple de la section 9.2 du livre : on considère le problème

$$\dot{u}(t) = 3u(t)-3t t>0,$$

$$u(0) = u_0.$$

Si $u_0=1/3$, la solution du problème est donnée par $u(t)=t+1/3$. Si $u(0)=1/3+\varepsilon$, la solution du problème de Cauchy est donnée par $u(t)=\varepsilon e^{3t}+t+1/3$. La différence entre ces deux solutions est donc $\varepsilon e^{3t}$ et pourrait être grande même si $\varepsilon$ est petit.

En effet, pour $t=10$, la différence absolue est de l'ordre de $\varepsilon 10^{13}$, la différence relative de l'ordre de $\varepsilon 10^{12}$. Il faut donc 13 chiffres significatifs pour obtenir le résultat à 10% près !

L'applet suivante illustre ce phénomène.