Solution globale unique pour le problème de Cauchy

Pour un couple $(f,u_0)$ donné, il n'existe pas toujours de solution au problème (9.1)-(9.2). Il se peut aussi qu'il existe plus d'une solution au problème. Rappelons (théorème 9.2 du livre) que, si $f$ est lipchitzienne, i.e si

$$\exists L \in \mathbb{R} \left\vert f(x,t) - f(y,t) \right\vert \leq L \vert x-y\vert \quad \forall x,y \in \mathbb{R}, \quad \forall t \in \mathbb{R}^+,$$ (9.3)

alors le problème (9.1)-(9.2) admet une solution globale unique (i.e. pour tout $t>0$).

Nous considérons les exemples suivants: