Schémas de Runge-Kutta explicite d'ordre 2 et 4

Le schéma d'Heun s'écrit :

$$p_1 = f(u^n,t_n),$$

$$p_2 = f(u^n + h_n p_1,t_{n+1}),$$

$$u^{n+1} = u^n + \frac{h_n}{2} (p_1+p_2).$$ (9.9)

Le schéma de Runge-Kutta classique s'écrit :

$$p_1 = f(u^n,t_n),$$

$$p_2 = f(u^n + \frac{h_n}{2} p_1,t_n + \frac{h_n}{2}),$$

$$p_3 = f(u^n + \frac{h_n}{2} p_2,t_n + \frac{h_n}{2}),$$

$$p_4 = f(u^n + \frac{h_n}{2} p_3,t_{n+1} ),$$

$$u^{n+1} = u^n + \frac{h_n}{6} (p_1+2 p_2 + 2 p_3 + p_4).$$ (9.10)

Ces deux schémas sont des schémas de Runge-Kutta explicites. Ils sont a priori plus précis que les schémas d'Euler. Le schéma de Heun est d'ordre 2, le schéma de Runge-Kutta classique est d'ordre 4.

Dans l'applet suivante, vous pouvez vérifier que les schémas de Heun et de Runge-Kutta classique sont plus précis que les schémas d'Euler.