Schémas d'Euler

Pour établir un schéma d'approximation correspondant au problème (9.1)-(9.2), nous commençons par partitionner l'axe Ot, c'est-à-dire nous choisissons des points $ t_0,t_1,t_2,..$ tels que

$\displaystyle 0=t_0<t_1<t_2< .. <t_n<t_{n+1}< ...
$

En posant $ h_n = t_{n+1}-t_n$, nous pouvons approcher $ \dot{u}(t_n)$ et $ \dot{u}(t_{n+1})$ par $ \frac{ u(t_{n+1}) - u(t_n)}{h_n}$.
Si $ u^n$ est une approximation de $ u(t_n)$, ces deux approches nous suggèrent les schémas suivants :

$ \bullet$ Schéma d'Euler progressif

$\displaystyle u^{n+1}$ $\displaystyle = h_n f(u^n,t_n) + u^n \quad n=0,1,2,..$ (9.4)
$\displaystyle u^0$ $\displaystyle = u_0.$    

$ \bullet$ Schéma d'Euler rétrograde

$\displaystyle u^{n+1}$ $\displaystyle = h_n f(u^{n+1},t_{n+1}) + u^n \quad n=0,1,2,..$ (9.5)
$\displaystyle u^0$ $\displaystyle = u_0.$    

Le schéma d'Euler progressif est un schéma explicite car le calcul de $ u^{n+1}$ en fonction de $ u^n$ est explicite. Le schéma d'Euler rétrograde est un schéma implicite car le calcul de $ u^{n+1}$ en fonction de $ u^n$ est implicite.

$ \bullet$ Stabilité.
On considère le cas particulier où $ f(x,t) = - \beta x$, où $ \beta > 0$. Le problème (9.1)-(9.2) devient

  $\displaystyle \dot{u}(t) = - \beta u(t)$   si $\displaystyle t>0,$ (9.6)
  $\displaystyle u(0) = u_0,$ (9.7)

et la solution est donnée par $ u(t) = e^{- \beta t} u_0$. Puisque $ \beta$ est positif, ce problème est numériquement bien posé. Néanmoins, si on décide de résoudre numériquement (9.6)-(9.7) avec le schéma d'Euler explicite avec un pas de temps $ h$ constant, il faut respecter la condition de stabilité $ h \leq 2/\beta$. En revanche, le schéma d'Euler implicite est toujours stable.

L'applet suivante illustre la notion de stabilité pour les schémas d'Euler avec $ \beta=40$.



$ \bullet$ Convergence.

La notion de stabilité d'un schéma ne garantit pas que les résultats numériques obtenus soient proches de la solution du problème de Cauchy. La notion de convergence garantit que, lorsque $ h$ tend vers zero, les résultats numériques s'approchent de la solution du problème de Cauchy.

Les schémas d'Euler implicite ou explicite sont des schémas d'ordre un en $ h$ au sens suivant : Soit $ T$ le temps final, soit $ N$ le nombre de pas de temps, soit $ h=T/N$ le pas de temps et soit $ u^N$ l'approximation de $ u(T)=u(t_N)$ obtenue avec les schémas d'Euler implicite ou explicite. Le théorème 9.3 du livre nous assure que, si $ f$ est une fois continûment dérivable par rapport à ses deux variables $ x$ et $ t$, il existe $ C$ telle que pour tout $ N$ on a

$\displaystyle \vert u(T) - u^N \vert \leq \frac{C}{N} = \frac{C h}{T}.$ (9.8)

EPFL-IACS-ASN