Schémas d'Euler

Pour établir un schéma d'approximation correspondant au problème (9.1)-(9.2), nous commençons par partitionner l'axe Ot, c'est-à-dire nous choisissons des points $t_0,t_1,t_2,..$ tels que

$$0=t_0<t_1<t_2< .. <t_n<t_{n+1}< ...$$

En posant $h_n = t_{n+1}-t_n$, nous pouvons approcher $\dot{u}(t_n)$ et $\dot{u}(t_{n+1})$ par $\frac{ u(t_{n+1}) - u(t_n)}{h_n}$.
Si $u^n$ est une approximation de $u(t_n)$, ces deux approches nous suggèrent les schémas suivants :

$\bullet$ Schéma d'Euler progressif

$$u^{n+1} = h_n f(u^n,t_n) + u^n \quad n=0,1,2,..$$ (9.4)

$$u^0 = u_0.$$

$\bullet$ Schéma d'Euler rétrograde

$$u^{n+1} = h_n f(u^{n+1},t_{n+1}) + u^n \quad n=0,1,2,..$$ (9.5)

$$u^0 = u_0.$$

Le schéma d'Euler progressif est un schéma explicite car le calcul de $u^{n+1}$ en fonction de $u^n$ est explicite. Le schéma d'Euler rétrograde est un schéma implicite car le calcul de $u^{n+1}$ en fonction de $u^n$ est implicite.

$\bullet$ Stabilité.
On considère le cas particulier où $f(x,t) = - \beta x$, où $\beta > 0$. Le problème (9.1)-(9.2) devient

$$\dot{u}(t) = - \beta u(t) t>0,$$ (9.6)

$$u(0) = u_0,$$ (9.7)

et la solution est donnée par $u(t) = e^{- \beta t} u_0$. Puisque $\beta$ est positif, ce problème est numériquement bien posé. Néanmoins, si on décide de résoudre numériquement (9.6)-(9.7) avec le schéma d'Euler explicite avec un pas de temps $h$ constant, il faut respecter la condition de stabilité $h \leq 2/\beta$. En revanche, le schéma d'Euler implicite est toujours stable.

L'applet suivante illustre la notion de stabilité pour les schémas d'Euler avec $\beta=40$.

$\bullet$ Convergence.

La notion de stabilité d'un schéma ne garantit pas que les résultats numériques obtenus soient proches de la solution du problème de Cauchy. La notion de convergence garantit que, lorsque $h$ tend vers zero, les résultats numériques s'approchent de la solution du problème de Cauchy.

Les schémas d'Euler implicite ou explicite sont des schémas d'ordre un en $h$ au sens suivant : Soit $T$ le temps final, soit $N$ le nombre de pas de temps, soit $h=T/N$ le pas de temps et soit $u^N$ l'approximation de $u(T)=u(t_N)$ obtenue avec les schémas d'Euler implicite ou explicite. Le théorème 9.3 du livre nous assure que, si $f$ est une fois continûment dérivable par rapport à ses deux variables $x$ et $t$, il existe $C$ telle que pour tout $N$ on a

$$\vert u(T) - u^N \vert \leq \frac{C}{N} = \frac{C h}{T}.$$ (9.8)