Approximation de Galerkin

Si $V$ est l'ensemble de toutes les fonctions $g:\overline{\Omega}\to\mathbb{R}$ qui sont continues sur $\overline{\Omega}$, nulles sur $\partial \Omega$, et dont les premières dérivées partielles $\partial g/\partial x_{1}$, $\partial g/\partial x_{2}$ sont continues par morceaux, la formulation faible (ou variationnelle) du problème (11.1),(11.2) est de chercher $u \in V$ qui satisfait les relations suivantes :

$$\iint\limits_{\Omega} \overrightarrow{\mbox{grad}} u(x) \cdot \overrightarrow{\mbox{grad}} v(x) dx = \iint\limits_{\Omega} f(x) v(x) dx,$$ (11.3)

pour toute fonction $v$ appartenant à $V$.
Un avantage important de la formulation (11.3) par rapport à la formulation (11.1),(11.2) du problème de Poisson est que nous faisons apparaître seulement des dérivées partielles premières dans (11.3) alors que l'on a des dérivées secondes dans (11.1).
Une méthode de Galerkin pour résoudre numériquement (11.3) consiste à
1) fixer $N$ fonctions linéairement indépendantes $\varphi_1,\varphi_2,..,\varphi_N$ dans $V$ et décrire le sous-espace vectoriel $V_h$ de $V$ comme étant l'ensemble des combinaisons linéaires des fonctions $\varphi_1,\varphi_2,..,\varphi_N$.
2) chercher une fonction $u_h \in V_h$, c'est-à-dire chercher une combinaison linéaire $u_h = \sum_{i=1}^{N} u_i \varphi_i$ où les $u_i$ sont des nombres réels inconnus, qui satisfait pour tout $j=1,2,..,N$ :

$$\iint\limits_{\Omega} \overrightarrow{\mbox{grad}} u_h(x) \cdot \... ...arrow{\mbox{grad}} \varphi_j(x) dx = \iint\limits_{\Omega} f(x) \varphi_j(x)dx.$$ (11.4)