Approximation de Galerkin

Si est l'ensemble de toutes les fonctions $g:\overline{\Omega}\to\mathbb{R}$ qui sont continues sur $\overline{\Omega}$ , nulles sur $\partial \Omega$ , et dont les premières dérivées partielles $\partial g/\partial x_{1}$ , $\partial g/\partial x_{2}$ sont continues par morceaux, la formulation faible (ou variationnelle) du problème (11.1),(11.2) est de chercher $u \in V$ qui satisfait les relations suivantes :

$\displaystyle \iint\limits_{\Omega} \overrightarrow{\mbox{grad}} u(x) \cdot \overrightarrow{\mbox{grad}} v(x) dx = \iint\limits_{\Omega} f(x) v(x) dx,$

(11.3)

pour toute fonction

appartenant à

.
Un avantage important de la formulation (11.3) par rapport à la formulation (11.1),(11.2) du problème de Poisson est que nous faisons apparaître seulement des dérivées partielles premières dans (11.3) alors que l'on a des dérivées secondes dans (11.1).
Une méthode de Galerkin pour résoudre numériquement (11.3) consiste à
1) fixer

fonctions linéairement indépendantes $\varphi_1,\varphi_2,..,\varphi_N$ dans

et décrire le sous-espace vectoriel

comme étant l'ensemble des combinaisons linéaires des fonctions $\varphi_1,\varphi_2,..,\varphi_N$ .
2) chercher une fonction $u_h \in V_h$ , c'est-à-dire chercher une combinaison linéaire $u_h = \sum_{i=1}^{N} u_i \varphi_i$ où les

sont des nombres réels inconnus, qui satisfait pour tout

$\displaystyle \iint\limits_{\Omega} \overrightarrow{\mbox{grad}} u_h(x) \cdot \... ...arrow{\mbox{grad}} \varphi_j(x) dx = \iint\limits_{\Omega} f(x) \varphi_j(x)dx.$

(11.4)

EPFL-IACS-ASN