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Mise sous forme matricielle de l'approximation de Galerkin

En définissant les nombres

$\displaystyle A_{i,j} = \iint\limits_{\Omega} \overrightarrow{\mbox{grad}} \varphi_i(x) \cdot \overrightarrow{\mbox{grad}} \varphi_j(x) dx,$ (11.5)

nous constatons que la relation (11.4) est équivalente à

$\displaystyle \sum_{i=1}^{N} A_{i,j} u_i = f_j,$    pour tout $\displaystyle j=1,2,..,N.$

Si $ A$ est la $ N\times N$ matrice de coefficients $ (A_{i,j})_{1\leq j,i \leq N}$, si $ \vec{f}$ est le N-vecteur de composantes $ f_1,f_2,..,f_N$, alors la méthode de Galerkin est équivalente à chercher un N-vecteur $ \vec{u}$ tel que

$\displaystyle A \vec{u} = \vec{f}.$ (11.6)

Ayant $ \vec{u}$ de composantes $ u_1,u_2,..,u_N$, on obtiendra $ u_h$ en posant

$\displaystyle u_h(x) = \sum_{i=1}^{N} u_i \varphi_i(x).$

On dira que $ u_h$ est une approximation de la solution $ u$ du problème (11.3).

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EPFL-IACS-ASN