Mise sous forme matricielle de l'approximation de Galerkin

En définissant les nombres

$$A_{i,j} = \iint\limits_{\Omega} \overrightarrow{\mbox{grad}} \varphi_i(x) \cdot \overrightarrow{\mbox{grad}} \varphi_j(x) dx,$$ (11.5)

nous constatons que la relation (11.4) est équivalente à

$$\sum_{i=1}^{N} A_{i,j} u_i = f_j,$$    pour tout $$j=1,2,..,N.$$

Si $A$ est la $N\times N$ matrice de coefficients $(A_{i,j})_{1\leq j,i \leq N}$, si $\vec{f}$ est le N-vecteur de composantes $f_1,f_2,..,f_N$, alors la méthode de Galerkin est équivalente à chercher un N-vecteur $\vec{u}$ tel que

$$A \vec{u} = \vec{f}.$$ (11.6)

Ayant $\vec{u}$ de composantes $u_1,u_2,..,u_N$, on obtiendra $u_h$ en posant

$$u_h(x) = \sum_{i=1}^{N} u_i \varphi_i(x).$$

On dira que $u_h$ est une approximation de la solution $u$ du problème (11.3).