Eléments finis triangulaires

Pour résoudre numériquement le problème de Poisson (11.1),(11.2) par la méthode des éléments finis, on procède ainsi :
1) On se donne une triangulation $ \mathcal{T}_h$ d'un domaine polygonal $ \Omega_h$ proche de $ \Omega$ en subdivisant $ \bar{\Omega}_h$ en triangles $ K_1,K_2,..,K_m$. Par exemple, dans la figure ci-dessous, nous avons représenté une triangulation du disque unité privé d'un secteur.


\epsfig{file=11/pac.maillage,height=6cm}


2) A chaque noeud intérieur $ P1,P2,..,P_N$ on associe une fonction $ \varphi_1,\varphi_2,..,\varphi_N$ de $ \bar{\Omega}$ dans $ \mathbb{R}$. La fonction $ \varphi_i, \ 1 \leq i \leq N$, est définie par
$ \bullet \ \varphi_i$ est nulle en tous les noeuds de $ \mathcal{T}_h$ sauf au point $ P_i$ où elle vaut 1,
$ \bullet \ \varphi_i$ est un polynôme de degré un sur chaque triangle $ K_l, \ 1 \leq l \leq m$.
( Dans la figure 11.3 du livre, on trouvera une représentation graphique d'une telle fonction $ \varphi_i$. )
3) On construit la matrice dite de rigidité $ A$ et le second membre $ \vec{f}$ donnés par (11.5).
4) On résout le système linéaire (11.6).


La matrice $ A$ est creuse au sens où la plupart de ses coefficients sont nuls. En effet, nous avons $ A_{ij}=0$ si $ P_i$ et $ P_j$ ne sont pas des sommets voisins (i.e. ayant une arête commune). Voici l'allure de $ A$ dans le cas présent (les coefficients non-nuls sont représentés par un carré bleu).


\epsfig{file=11/mat_sparse.eps,height=8cm}


Du point de vue infomatique, il est hors de question de stocker tous les coefficients de la matrice $ A$. La méthode de stockage dépend de la méthode de résolution du système linéaire. Si le système linéaire est résolu à l'aide d'une méthode directe (décomposition LU de Cholesky ou élimination de Gauss, voir les chap. 4 et 5 du livre), alors on utilise alors le stockage bande (fig. de gauche) ou profil (fig. de droite).


\epsfig{file=11/mat_bande.eps,height=8cm} \epsfig{file=11/mat_profil.eps,height=8cm}


Si le système linéaire est résolu à l'aide d'une méthode itérative (gradient conjugué, GMRES, voir le chap. 6 du livre), alors on ne stocke que les coefficients non nuls de la matrice.

EPFL-IACS-ASN