Eléments finis triangulaires

Pour résoudre numériquement le problème de Poisson (11.1),(11.2) par la méthode des éléments finis, on procède ainsi :
1) On se donne une triangulation $\mathcal{T}_h$ d'un domaine polygonal $\Omega_h$ proche de $\Omega$ en subdivisant $\bar{\Omega}_h$ en triangles $K_1,K_2,..,K_m$. Par exemple, dans la figure ci-dessous, nous avons représenté une triangulation du disque unité privé d'un secteur.

2) A chaque noeud intérieur $P1,P2,..,P_N$ on associe une fonction $\varphi_1,\varphi_2,..,\varphi_N$ de $\bar{\Omega}$ dans $\mathbb{R}$. La fonction $\varphi_i, \ 1 \leq i \leq N$, est définie par
$\bullet \ \varphi_i$ est nulle en tous les noeuds de $\mathcal{T}_h$ sauf au point $P_i$ où elle vaut 1,
$\bullet \ \varphi_i$ est un polynôme de degré un sur chaque triangle $K_l, \ 1 \leq l \leq m$.
( Dans la figure 11.3 du livre, on trouvera une représentation graphique d'une telle fonction $\varphi_i$. )
3) On construit la matrice dite de rigidité $A$ et le second membre $\vec{f}$ donnés par (11.5).
4) On résout le système linéaire (11.6).

La matrice $A$ est creuse au sens où la plupart de ses coefficients sont nuls. En effet, nous avons $A_{ij}=0$ si $P_i$ et $P_j$ ne sont pas des sommets voisins (i.e. ayant une arête commune). Voici l'allure de $A$ dans le cas présent (les coefficients non-nuls sont représentés par un carré bleu).

Du point de vue infomatique, il est hors de question de stocker tous les coefficients de la matrice $A$. La méthode de stockage dépend de la méthode de résolution du système linéaire. Si le système linéaire est résolu à l'aide d'une méthode directe (décomposition LU de Cholesky ou élimination de Gauss, voir les chap. 4 et 5 du livre), alors on utilise alors le stockage bande (fig. de gauche) ou profil (fig. de droite).

Si le système linéaire est résolu à l'aide d'une méthode itérative (gradient conjugué, GMRES, voir le chap. 6 du livre), alors on ne stocke que les coefficients non nuls de la matrice.