Possibilité (a)

Pour traduire le fait que $\frac{\partial}{\partial x}u(0,t_n)=0$, nous posons $u_0^n=u_1^n$, pour tout $n=0,1,2,...$ (en effet $\frac{u_1^n-u_0^n}{h}$ est une approximation par une formule de différences finies de $\frac{\partial}{\partial x}u(0,t_n)=0$). De même on pose $u_N^n=u_{N+1}^n$. En tenant compte de ces relations, nous pouvons écrire (12.16) sous la forme

$$\dfrac{u_{1}^{n+1} - u_{1}^{n}}{\tau} + k \dfrac{u_{1}^{n} - u_{2}^{n}}{h^2} = f ( x_{1}, t_{n} ),$$ (12.17)

$$\dfrac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\tau} + k \dfrac{- u_{j-1}^{n}+2u_{j}^{n} - u_{j+1}^{n}}{h^2} = f ( x_{j}, t_{n} ), \qquad j=2,3,...,N-1,$$ (12.18)

$$\dfrac{u_{N}^{n+1} - u_{N}^{n}}{\tau} + k \dfrac{- u_{N-1}^{n}+u_{N}^{n} }{h^2} = f ( x_{N}, t_{n} ).$$ (12.19)

En définissant la $N\times N$ matrice $A$ par

$$A = \frac{k}{h^{2}} \begin{bmatrix}1 & -1 & \\ -1 & 2 & -1 \\ & \ddots & \ddots&\ddots \\ && -1 & 2 & -1 \\ && & -1& 1 \\ \end{bmatrix},$$

et les $N$-vecteurs $\vec u^n$ et $\vec f(t_n)$ par

$$\vec u^n = \begin{bmatrix}u_1^n \\ u_2^n \\ \vdots \\ u_N^n \\ \e... ...atrix}f(x_1,t_n) \\ f(x_2,t_n) \\ \vdots \\ f(x_N,t_n) \\ \end{bmatrix}, \qquad$$

nous obtenons de façon condensée

$$\dfrac{\vec u^{n+1}-\vec u^n}{\tau}+A\vec u^n=\vec f(t_n), \qquad n=0,1,2,...$$

Naturellement nous ajoutons une condition initiale

$$\vec u^0 =\vec w,$$

où $\vec w$ est le $N$-vecteur défini par

$$\vec w = \begin{bmatrix} w(x_1) \\ w(x_2) \\ \vdots \\ w(x_N) \\ \end{bmatrix}.$$