Possibilité (b)

Pour traduire le fait que $\frac{\partial}{\partial x}u(0,t_n)=0$, nous ajoutons artificiellement un noeud intérieur $x_{-1}=-h$ auquel correspondrait une valeur d'approximation $u_{-1}^n$ au temps $t_n$, et nous posons $u_{-1}^n=u_1^n$ pour tout $n=0,1,2,...$ (en effet $\frac{u_1^n-u_{-1}^n}{2h}$ est une approximation par une formule de différences finies centrées de $\frac{\partial}{\partial x}u(0,t_n)=0$). On procède de la même façon en $x=1$ en introduisant un noeud $x_{N+2}$ et on pose $u_{N+2}^n=u_N^n$. Nous avons donc introduit deux nouvelles inconnues $u_{-1}^n$ et $u_{N+2}^n$ et il convient donc d'ajouter deux nouvelles équations. Nous écrivons alors (12.16) en prenant aussi $j=0$ et $j=N+1$. Ainsi (12.16) avec $j=0,1,2,...,N+1$ combiné aux relations $u_{-1}^n=u_1^n$ et $u_{N+2}^n=u_N^n$ donne

$$\dfrac{u_{0}^{n+1} - u_{0}^{n}}{\tau} + k \dfrac{2u_{0}^{n} - 2u_{1}^{n}}{h^2} = f ( x_{0}, t_{n} ),$$ (12.20)

$$\dfrac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\tau} + k \dfrac{- u_{j-1}^{n}+2u_{j}^{n} - u_{j+1}^{n}}{h^2} = f ( x_{j}, t_{n} ), \qquad j=1,2,...,N,$$ (12.21)

$$\dfrac{u_{N+1}^{n+1} - u_{N+1}^{n}}{\tau} + k \dfrac{- 2u_{N}^{n}+2u_{N+1}^{n} }{h^2} = f ( x_{N+1}, t_{n} ).$$ (12.22)

Ici encore le schéma peut se mettre sous forme vectorielle; nous obtiendrons des vecteurs à $N+2$ composantes.