Schéma d'Euler progressif

Si $N$ est un entier positif, nous introduisons le pas spatial $h=\frac 1 {N+1}$ et les noeuds $x_j = jh$ avec $j=0,1,2,...,N+1$. Nous choisissons encore un pas temporel $\tau > 0$ et calculons les temps $t_n=n\tau$, $n=0,1,2,\ldots$. Les points $x_{j}$ et $t_{n}$ sont représentés dans la grille ci-dessous :

Si $u ( x_{j}, t_{n} )$ est la valeur de la solution du problème (12.1)-(12.3) au noeud $x_j$ et au temps $t_n$, nous notons $u_{j}^{n}$ son approximation ( $u_{j}^{n}\simeq u ( x_{j}, t_{n} )$) par le schéma d'Euler progressif. En regard de (12.1) nous aurons donc :

$$\dfrac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\tau} + k \dfrac{- u_{j-1}^{n}+2u_{j}^{n} - u_{j+1}^{n}}{h^2} = f ( x_{j}, t_{n} ) \qquad j=1,2,...,N.$$ (12.16)

Pour tenir compte des conditions aux limites (12.2), nous avons deux possibilités.