Schéma d'Euler rétrograde

Pour obtenir le schéma d'Euler rétrograde, il suffit de modifier (12.20)-(12.22) de la façon suivante :

    $\displaystyle \dfrac{u_{0}^{n+1} - u_{0}^{n}}{\tau} + k
\dfrac{2u_{0}^{n+1} - 2u_{1}^{n+1}}{h^2} = f ( x_{0}, t_{n+1} ),$ (12.25)
    $\displaystyle \dfrac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\tau} + k
\dfrac{- u_{j-1}^{n+1}+2u_{j}^{n+1} - u_{j+1}^{n+1}}{h^2} = f ( x_{j}, t_{n+1} ),
\qquad j=1,2,...,N,$ (12.26)
    $\displaystyle \dfrac{u_{N+1}^{n+1} - u_{N+1}^{n}}{\tau} + k
\dfrac{- 2u_{N}^{n+1}+2u_{N+1}^{n+1} }{h^2} = f ( x_{N+1}, t_{n+1} ),$ (12.27)

avec bien entendu la condition initiale $ u_j^0=w(x_j)$, $ j=0,1,...,N+1$. Le schéma (12.25)-(12.27) est un schéma implicite. On ne peut pas obtenir directement les $ u_j^{n+1}$ en fonction des $ u_j^n$ comme nous l'avons fait pour le schéma d'Euler progressif. Il faut résoudre un système linéaire des $ (N+2)$ équations (12.25)-(12.27) à $ (N+2)$ inconnues qui sont les $ u_j^{n+1}$, $ j=0,1,2,...,N+1$.



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EPFL-IACS-ASN