Schéma d'Euler rétrograde

Pour obtenir le schéma d'Euler rétrograde, il suffit de modifier (12.20)-(12.22) de la façon suivante :

$$\dfrac{u_{0}^{n+1} - u_{0}^{n}}{\tau} + k \dfrac{2u_{0}^{n+1} - 2u_{1}^{n+1}}{h^2} = f ( x_{0}, t_{n+1} ),$$ (12.25)

$$\dfrac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\tau} + k \dfrac{- u_{j-1}^{n+1}+2u_{j}^{n+1} - u_{j+1}^{n+1}}{h^2} = f ( x_{j}, t_{n+1} ), \qquad j=1,2,...,N,$$ (12.26)

$$\dfrac{u_{N+1}^{n+1} - u_{N+1}^{n}}{\tau} + k \dfrac{- 2u_{N}^{n+1}+2u_{N+1}^{n+1} }{h^2} = f ( x_{N+1}, t_{n+1} ),$$ (12.27)

avec bien entendu la condition initiale $u_j^0=w(x_j)$, $j=0,1,...,N+1$. Le schéma (12.25)-(12.27) est un schéma implicite. On ne peut pas obtenir directement les $u_j^{n+1}$ en fonction des $u_j^n$ comme nous l'avons fait pour le schéma d'Euler progressif. Il faut résoudre un système linéaire des $(N+2)$ équations (12.25)-(12.27) à $(N+2)$ inconnues qui sont les $u_j^{n+1}$, $j=0,1,2,...,N+1$.