Schéma saute-mouton

On vérifie l'égalité

$$\begin{bmatrix} u ( x_{j}, t_{n+1} ) \\ \\ u ( x_{j}, t_{n} ) \... ...egin{bmatrix} u ( x_{j}, t_{1} ) \\ \\ u ( x_{j}, t_{0} ) \\ \end{bmatrix},$$

où $R_{m}$ est la $2\times 2$ matrice donnée par

$$R_{m} = \begin{bmatrix} - 2 i \sin m c_{0} \tau & & 1 \\ \\ 1 & & 0 \\ \end{bmatrix}.$$

Les valeurs propres de $R_{m}$ sont :

$$r_{m} = \pm e^{\mp im c_{0} \tau}.$$

D'autre part, le coefficient $\gamma_{m}$ est donné par (13.10). Un calcul simple montre que ses valeurs propres sont données par

$$\mu_{m} = - i \lambda \sin mh \pm \sqrt{1 - \lambda^{2} \sin^{2} mh}$$

soit encore

$$\mu_{m} = \pm e^{\mp i \varphi_{m}}$$   avec $$\varphi_{m} = \arctan \left( \dfrac{\lambda \sin mh}{\sqrt{1 - \lambda^{2} \sin^{2} mh}} \right).$$

Ici encore, la différence entre $\mu_{m}$ et $r_{m}$ fait intervenir la quantité $m c_{0} \tau - \varphi_{m}$ qui mesure la dispersion de la $m$-ième harmonique.

Nous avons représenté dans la figure suivante l'allure de $m c_{0} \tau - \varphi_{m}$ (et donc de la dispersion de la $m$-ième harmonique) en fonction de $mh$.

L'exemple interactif suivant illustre la dispersion numérique du schéma saute-mouton.