Dispersion des schémas

Nous avons déjà vu que, si $c (x,t) = c_{0} =$ constante, si $f (x,t) = 0$ et si $w (x) = e^{imx}$, alors la solution du problème (13.1) et (13.2) est donnée par :

$$u (x,t) = w(x-c_0 t) = e^{imx}e^{- im c_{0} t}.$$

Ainsi, nous obtenons :

$$u ( x_{j}, t_{n} ) = e^{im ( x_{j} - c_{0} n \tau )}.$$ (13.13)

D'autre part, d'après (13.6), nous savons que :

$$u_{j}^{n} = \left( \gamma_{m} \right)^{n} u_{j}^{0}.$$

Posons $\varphi_{m} = - \arg ( \gamma_{m} )$, c'est-à-dire $\gamma_{m} = \vert \gamma_{m} \vert e^{- i \varphi_{m}}$, nous avons donc

$$u_{j}^{n} = \vert \gamma_{m} \vert^{n} e^{im x_{j} - in \varphi_{m}}.$$

La quantité $(m c_{0} \tau - \varphi_{m})$ correspond au déphasage introduit à chaque pas de temps entre la solution exacte et la solution numérique lorsqu'on propage la $m$-ième harmonique. On dit alors qu'il y a dispersion de la $m$-ième harmonique. Plus $(m c_{0} \tau - \varphi_{m})$ est grand et plus la dispersion de la $m$-ième harmonique est grande.