Dispersion des schémas

Nous avons déjà vu que, si $ c (x,t) = c_{0} =$ constante, si $ f (x,t) = 0$ et si $ w (x) = e^{imx}$, alors la solution du problème (13.1) et (13.2) est donnée par :

$\displaystyle u (x,t) = w(x-c_0 t) = e^{imx}e^{- im c_{0} t}.
$

Ainsi, nous obtenons :

$\displaystyle u ( x_{j}, t_{n} ) = e^{im ( x_{j} - c_{0} n \tau )}.$ (13.13)

D'autre part, d'après (13.6), nous savons que :

$\displaystyle u_{j}^{n} = \left( \gamma_{m} \right)^{n} u_{j}^{0}.$

Posons $ \varphi_{m} = - \arg ( \gamma_{m} )$, c'est-à-dire $ \gamma_{m} = \vert \gamma_{m} \vert e^{- i \varphi_{m}}$, nous avons donc

$\displaystyle u_{j}^{n} = \vert \gamma_{m} \vert^{n} e^{im x_{j} - in \varphi_{m}}.
$

La quantité $ (m c_{0} \tau - \varphi_{m})$ correspond au déphasage introduit à chaque pas de temps entre la solution exacte et la solution numérique lorsqu'on propage la $ m$-ième harmonique. On dit alors qu'il y a dispersion de la $ m$-ième harmonique. Plus $ (m c_{0} \tau - \varphi_{m})$ est grand et plus la dispersion de la $ m$-ième harmonique est grande.



Subsections
EPFL-IACS-ASN