Lien avec un problème de valeurs propres

Soit $A$ la matrice définie par

$$A= \begin{pmatrix}2&-1 \\ -1&2 \end{pmatrix}.$$

Supposons connaître les deux valeurs propres et vecteurs propres de la matrice $A$, i.e. $\lambda_1$, $\vec{\varphi}_1$, $\lambda_2$, $\vec{\varphi}_2$ tels que

$$A \vec{\varphi}_1 = \lambda_1\vec{\varphi}_1,$$

$$A \vec{\varphi}_2 = \lambda_2\vec{\varphi}_2.$$

Puisque $A$ est symétrique définie positive, les valeurs propres $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont réelles strictement positives. Les grandeurs $C_1$, $C_2$ et $\omega$ solutions de (7.1) sont alors données par

$$\begin{pmatrix}C_1 \\ C_2 \end{pmatrix}=\vec{\varphi}_1, \qquad \omega = \sqrt{\lambda_1},$$

ou encore

$$\begin{pmatrix}C_1 \\ C_2 \end{pmatrix}=\vec{\varphi}_2, \qquad \omega = \sqrt{\lambda_2}.$$