Diffusion des schémas

Nous avons déjà vu que, si $c (x,t) = c_{0} =$ constante, si $f (x,t) = 0$ et si $w (x) = e^{imx}$, alors la solution du problème (13.1) et (13.2) est donnée par :

$$u (x,t) = w(x-c_0 t) = e^{imx}e^{- im c_{0} t}.$$

On a donc

$$\vert u (x,t) \vert = 1.$$

D'autre part, (13.6) implique :

$$\vert u_{j}^{n} \vert = \vert \gamma_{m} \vert^{n} \vert u_{j}^{0} \vert.$$

Si $\vert \gamma_{m} \vert < 1$ alors

$$\max_{j} \vert u_{j}^{n} \vert\to 0$$   lorsque$$\qquad n\to\infty.$$

On dit alors qu'il y a diffusion de la $m$-ième harmonique. Plus $\vert \gamma_{m} \vert$ est petit et plus la diffusion de la $m$-ième harmonique est grande. Dans le cas du schéma saute-mouton, on remplace $\gamma_{m}$ par les valeurs propres de $\gamma_{m}$.